亚纯函数
字数 1383 2025-10-26 10:29:06

亚纯函数

  1. 基本概念
    亚纯函数是复变函数中的一类重要函数，其定义如下：
    设 \(D \subset \mathbb{C}\) 是一个区域（连通开集），若函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 内除若干孤立奇点外处处解析，且所有奇点均为极点（即非本性奇点），则称 \(f(z)\) 为 \(D\) 上的亚纯函数。
    关键点：

    • 亚纯函数是解析函数的推广，允许存在极点，但排除本性奇点（如 \(e^{1/z}\) 在 \(z=0\) 处的行为过于复杂）。
    • 例子：有理函数 \(\frac{z^2+1}{z(z-1)}\) 在整个复平面上是亚纯函数，极点为 \(z=0\) 和 \(z=1\)。

  2. 极点与极点的阶
    若 \(f(z)\) 在奇点 \(z_0\) 处的主要部分为有限项，即其洛朗级数为：

\[ f(z) = \frac{a_{-m}}{(z-z_0)^m} + \cdots + \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots \quad (a_{-m} \neq 0), \]

则称 \(z_0\) 为 \(m\) 阶极点。
判定方法：

  • \(z_0\) 是 \(m\) 阶极点当且仅当 \(\lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z)\) 存在且非零。
  • 例如，\(f(z) = \frac{\sin z}{z^3}\) 在 \(z=0\) 处有二阶极点，因 \(\lim_{z \to 0} z^2 f(z) = 1\)。

  1. 亚纯函数的性质

    • 局部行为：在极点附近，\(|f(z)| \to \infty\)（与本性奇点的本质区别）。
    • 闭区域上的亚纯函数：若 \(f\) 在区域 \(D\) 的闭包 \(\overline{D}\) 上亚纯，且在边界 \(\partial D\) 上无极点，则极点个数有限（紧致性保证）。
    • 函数运算下的封闭性：亚纯函数的和、差、积、商（分母非零函数）仍为亚纯函数。

  2. 与解析函数的关系

    • 全纯函数是亚纯函数的特例（极点个数为零）。
    • 部分分式分解：任意有理函数可分解为多项式与形如 \(\frac{1}{(z-z_0)^k}\) 的项之和，这体现了亚纯函数的结构。
    • 扩展例子：\(\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}\) 在整个复平面上亚纯，极点为 \(\cos z = 0\) 的点（即 \(z=\frac{\pi}{2} + k\pi\)）。

  3. 亚纯函数的应用

    • 留数定理计算积分：亚纯函数的积分可转化为极点处留数的求和（需排除极点路径）。
    • 黎曼曲面理论：在紧黎曼面上，亚纯函数等价于到黎曼球 \(\mathbb{C}_\infty\) 的全纯映射，极点对应函数值 \(\infty\)。
    • 物理与工程：在量子场论和信号处理中，亚纯函数用于描述具有孤立奇点的物理量（如格林函数）。

  4. 重要定理：亚纯函数的唯一性
    若两个亚纯函数在区域 \(D\) 内具有相同的极点和相同的级数展开主部，且在某点列上取值相同（点列有极限点），则两者恒等（推广了解析延拓的唯一性）。

亚纯函数 基本概念 亚纯函数是复变函数中的一类重要函数，其定义如下： 设 \( D \subset \mathbb{C} \) 是一个区域（连通开集），若函数 \( f(z) \) 在 \( D \) 内除若干孤立奇点外处处解析，且所有奇点均为极点（即非本性奇点），则称 \( f(z) \) 为 \( D \) 上的 亚纯函数 。 关键点 ： 亚纯函数是解析函数的推广，允许存在极点，但排除本性奇点（如 \( e^{1/z} \) 在 \( z=0 \) 处的行为过于复杂）。 例子：有理函数 \( \frac{z^2+1}{z(z-1)} \) 在整个复平面上是亚纯函数，极点为 \( z=0 \) 和 \( z=1 \)。 极点与极点的阶 若 \( f(z) \) 在奇点 \( z_ 0 \) 处的主要部分为有限项，即其洛朗级数为： \[ f(z) = \frac{a_ {-m}}{(z-z_ 0)^m} + \cdots + \frac{a_ {-1}}{z-z_ 0} + a_ 0 + a_ 1(z-z_ 0) + \cdots \quad (a_ {-m} \neq 0), \] 则称 \( z_ 0 \) 为 \( m \) 阶极点。 判定方法 ： \( z_ 0 \) 是 \( m \) 阶极点当且仅当 \( \lim_ {z \to z_ 0} (z-z_ 0)^m f(z) \) 存在且非零。 例如，\( f(z) = \frac{\sin z}{z^3} \) 在 \( z=0 \) 处有二阶极点，因 \( \lim_ {z \to 0} z^2 f(z) = 1 \)。 亚纯函数的性质 局部行为 ：在极点附近，\( |f(z)| \to \infty \)（与本性奇点的本质区别）。 闭区域上的亚纯函数 ：若 \( f \) 在区域 \( D \) 的闭包 \( \overline{D} \) 上亚纯，且在边界 \( \partial D \) 上无极点，则极点个数有限（紧致性保证）。 函数运算下的封闭性 ：亚纯函数的和、差、积、商（分母非零函数）仍为亚纯函数。 与解析函数的关系 全纯函数是亚纯函数的特例（极点个数为零）。 部分分式分解 ：任意有理函数可分解为多项式与形如 \( \frac{1}{(z-z_ 0)^k} \) 的项之和，这体现了亚纯函数的结构。 扩展例子 ：\( \tan z = \frac{\sin z}{\cos z} \) 在整个复平面上亚纯，极点为 \( \cos z = 0 \) 的点（即 \( z=\frac{\pi}{2} + k\pi \)）。 亚纯函数的应用 留数定理计算积分 ：亚纯函数的积分可转化为极点处留数的求和（需排除极点路径）。 黎曼曲面理论 ：在紧黎曼面上，亚纯函数等价于到黎曼球 \( \mathbb{C}_ \infty \) 的全纯映射，极点对应函数值 \( \infty \)。 物理与工程 ：在量子场论和信号处理中，亚纯函数用于描述具有孤立奇点的物理量（如格林函数）。 重要定理：亚纯函数的唯一性 若两个亚纯函数在区域 \( D \) 内具有相同的极点和相同的级数展开主部，且在某点列上取值相同（点列有极限点），则两者恒等（推广了解析延拓的唯一性）。