傅里叶变换
好的，我们接下来学习傅里叶变换。它与你已经了解的傅里叶级数有紧密联系，但应用范围更广。我们将从傅里叶级数的回顾出发，逐步引出傅里叶变换的核心思想、定义、性质及其意义。
步骤1：从傅里叶级数到傅里叶变换的动机
首先，回忆一下傅里叶级数：对于一个定义在有限区间（如 [-L, L]）上的周期函数，我们可以用一系列正弦和余弦函数（或复指数函数）的加权和来逼近它。其核心公式（复数形式）为：
\[f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L} x} \]
其中，系数 c_n 表示了频率为 n/(2L) 的简谐波在函数 f(x) 中所占的“权重”。
那么问题来了：如果我们想分析的函数 f(x) 不是周期函数，而是定义在整个实数轴 (-∞, +∞) 上的非周期函数，我们该如何进行类似的频谱分析呢？
思路：我们可以将非周期函数视作一个周期函数的极限情况，即其周期 T 趋于无穷大（T → ∞，等价于 L → ∞）。当周期变得无限大时，原来的离散频率点 n/(2L) 会变得越来越密集，最终“缝合”成一个连续的频率变量。同时，傅里叶级数求和也就自然地过渡到了积分。这个从离散到连续的过渡，就是傅里叶变换的核心思想。
步骤2：傅里叶变换的定义
基于上述动机，我们直接给出傅里叶变换的正式定义。
设函数 f(x) 在 (-∞, +∞) 上定义，且满足一定的可积性条件（例如，绝对可积，即 ∫|f(x)|dx < ∞，这是一个充分但不必要条件）。
- 傅里叶变换（通常记为
F或ℱ）将函数f(x)映射为一个新的函数F(ξ)（或f̂(ξ)），这个新函数表示的是频率ξ处的频谱密度。其定义如下：
\[ F(\xi) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx \]
* `x` 是时间域或空间域的变量。
* `ξ` 是频率域的变量。
* `e^{-2\pi i x \xi}` 是复指数函数，根据欧拉公式 `e^{iθ} = cos(θ) + i sin(θ)`，它同时包含了余弦和正弦分量。
- 逆傅里叶变换：有正变换，就必然有逆变换，它允许我们从频谱
F(ξ)中完美地恢复出原始函数f(x)（在一定的函数类下）。
\[ f(x) = \mathcal{F}^{-1}\{F(\xi)\} = \int_{-\infty}^{\infty} F(\xi) e^{2\pi i x \xi} d\xi \]
注意：在不同的学科领域（如数学、物理、工程），傅里叶变换的定义可能略有不同，主要体现在指数项的系数上。另一种常见形式是使用角频率 ω = 2πξ：
\[F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]
\[ f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega \]
我们首先采用第一种定义，因为它与傅里叶级数的联系更为直接。
步骤3：一个简单的例子：矩形函数的傅里叶变换
让我们通过一个具体函数来直观感受傅里叶变换。考虑一个矩形函数（或称门函数）：
\[f(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } |x| \le a \\ 0, & \text{if } |x| > a \end{cases} \]
计算它的傅里叶变换 F(ξ)：
\[F(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx = \int_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-2\pi i x \xi} dx \]
计算这个积分：
\[F(\xi) = \left[ \frac{e^{-2\pi i x \xi}}{-2\pi i \xi} \right]_{-a}^{a} = \frac{e^{-2\pi i a \xi} - e^{2\pi i a \xi}}{-2\pi i \xi} \]
利用欧拉公式 sin(θ) = (e^{iθ} - e^{-iθ}) / (2i)，上式可化简为：
\[F(\xi) = \frac{-2i \sin(2\pi a \xi)}{-2\pi i \xi} = \frac{\sin(2\pi a \xi)}{\pi \xi} \]
我们通常将其写成 Sinc 函数 的形式，其中 sinc(z) = sin(πz) / (πz)。
\[F(\xi) = 2a \cdot \frac{\sin(2\pi a \xi)}{2\pi a \xi} = 2a \cdot \text{sinc}(2a\xi) \]
这个结果的物理意义是什么？
- 时域/空域：一个完美的矩形脉冲。
- 频域：它的频谱是连续的，形状为
sinc函数。这意味着，为了构成一个时域上有限的矩形脉冲，我们需要所有频率的正弦波成分，但其能量主要集中在以零频率为中心的一个主瓣内。频率越高，其贡献（振幅）越小，并以1/ξ的速度衰减。
步骤4：傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的强大之处在于它拥有一系列优美的性质，这些性质使得它在求解微分方程、信号处理等领域非常实用。
- 线性性：傅里叶变换是一个线性算子。
\[ \mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = a\mathcal{F}\{f(x)\} + b\mathcal{F}\{g(x)\} \]
- 平移性质：
- 时域平移：函数在时间上的延迟，会导致其频谱产生一个相移。
\[ \mathcal{F}\{f(x - x_0)\} = e^{-2\pi i \xi x_0} F(\xi) \]
* **频域平移**：频谱的平移，对应于时域函数乘以一个复指数（调制）。
\[ \mathcal{F}\{e^{2\pi i \xi_0 x} f(x)\} = F(\xi - \xi_0) \]
- 缩放性质：函数在时间域上的“展宽”，会导致其在频率域上的“压缩”，反之亦然。这体现了时域和频域之间的“不确定性原理”。
\[ \mathcal{F}\{f(ax)\} = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\xi}{a}\right) \]
- 卷积定理：这是最重要的性质之一。
- 时域卷积：两个函数卷积的傅里叶变换，等于它们各自傅里叶变换的乘积。
\[ \mathcal{F}\{(f * g)(x)\} = F(\xi) \cdot G(\xi) \]
其中卷积定义为 `(f * g)(x) = ∫f(τ)g(x-τ)dτ`。
* **频域卷积**：两个函数乘积的傅里叶变换，等于它们各自傅里叶变换的卷积。
\[ \mathcal{F}\{f(x)g(x)\} = (F * G)(\xi) \]
卷积定理将复杂的卷积运算转化为简单的乘法运算，极大地简化了计算。
步骤5：傅里叶变换的意义与应用
总结一下，傅里叶变换的意义深远：
- 频域分析：它将一个信号从时间（或空间）域变换到频率域。在这个新的视角下，我们可以清晰地看到一个复杂信号是由哪些频率成分构成的，以及各成分的强度如何。这对于分析信号的特性（如滤波、降噪、压缩）至关重要。
- 求解微分方程：对于线性偏微分方程（如热传导方程、波动方程），傅里叶变换可以将关于时间/空间的微分算子转化为频域中的乘法算子，从而将偏微分方程化为更容易求解的常微分方程。
- 现代技术的基石：从图像和音频的压缩（JPEG, MP3）、无线通信、医学成像（CT、MRI）到量子力学，傅里叶变换都是其背后的核心数学工具。
通过以上五个步骤，我们由傅里叶级数自然过渡到傅里叶变换，理解了其定义、计算、性质和应用。它为我们提供了一种在连续频谱上分析非周期函数的强大工具。