量子力学中的压缩半群

1. 基本概念引入
   在量子系统中，时间演化通常由酉算子描述（如Stone定理所述）。但开放量子系统（与环境相互作用的系统）的时间演化可能不再保持概率守恒，此时需引入更一般的算子半群，即压缩半群。其核心特征是：对于希尔伯特空间ℋ上的一族有界线性算子{𝑇(𝑡)}（𝑡≥0），满足：

   • 𝑇(0)=𝐼（恒等算子）
   • 𝑇(𝑡+𝑠)=𝑇(𝑡)𝑇(𝑠)（半群性质）
   • ‖𝑇(𝑡)‖≤1（压缩性，即不放大范数）
     压缩性保证了系统总概率随时间增长不增加，符合耗散或衰减过程的物理图像。

2. 无穷小生成元的定义与性质
   若压缩半群强连续（即对任意向量𝜓∈ℋ，𝑇(𝑡)𝜓连续依赖于𝑡），则存在唯一稠定闭算子𝐴，称为无穷小生成元，满足：

   • 𝐴𝜓 = lim_{𝑡→0⁺} (𝑇(𝑡)𝜓−𝜓)/𝑡（极限在向量意义下成立）
   • 𝑇(𝑡)可通过对𝐴的指数形式𝑇(𝑡)=exp(𝑡𝐴)形式化定义（但需注意𝐴一般无界）。
     𝐴的物理意义类似于哈密顿算子的推广：若𝐴=−𝑖𝐻（𝐻自伴），则回到酉演化；但开放系统中𝐴可能具有更复杂的结构。

3. Hille-Yosida定理的判据
   判断一个算子𝐴是否为压缩半群的生成元，需满足：

   • 𝐴是闭算子且定义域稠密
   • 对于所有实数𝜆>0，算子(𝜆𝐼−𝐴)可逆，且范数满足‖(𝜆𝐼−𝐴)⁻¹‖≤1/𝜆
     此定理保证了半群𝑇(𝑡)的良定义性，并通过预解式(𝜆𝐼−𝐴)⁻¹将生成元与半群的解析性质关联。

4. 应用示例：量子动力半群
   在开放量子系统理论中，压缩半群用于描述密度算子的时间演化（如量子主方程的解）。此时需将半群推广至迹类算子空间：

   • 若𝑇(𝑡)是希尔伯特空间上的压缩半群，则其对偶半群𝑇*(𝑡)作用于密度算子𝜌，满足𝜌(𝑡)=𝑇*(𝑡)𝜌(0)
   • 物理上要求𝑇*(𝑡)完全正定且保迹，这进一步约束了生成元𝐴的形式（如Lindblad型生成元）。

5. 与收缩算子的关系
   压缩半群在固定时间𝑡的算子𝑇(𝑡)是收缩算子（‖𝑇(𝑡)‖≤1）。这一性质与谱映射定理结合可知，生成元𝐴的谱必须位于复平面的左半闭平面（即Re(𝜎(𝐴))≤0），这与系统稳定性一致：若𝐴的谱伸至右半平面，会导致概率增长的发散行为。