里斯凸性定理（Riesz Convexity Theorem）
好的，我们开始讲解里斯凸性定理。这个定理是调和分析与泛函分析中一个非常深刻的结果，它揭示了线性算子在复插值空间上的范数行为。为了保证你能循序渐进地理解，我们将按照以下步骤展开：
第一步：从具体到抽象——回顾线性算子与L^p空间
- 线性算子：首先，我们考虑一个线性算子 T，它作用于函数上。简单说，T是一个映射，满足 \(T(af + bg) = aT(f) + bT(g)\)，其中a, b是常数，f, g是函数。
- 算子的有界性：在分析中，我们关心算子是否“放大”了输入函数。用范数来度量函数的大小。对于一个定义在 \(L^p\) 空间上的算子T，如果存在常数 \(C > 0\)，使得对任意函数 \(f \in L^p\)，都有 \(\|Tf\|_{L^q} \le C \|f\|_{L^p}\)，我们就说T是从 \(L^p\) 到 \(L^q\) 的有界线性算子。这里，\(1 \le p, q \le \infty\)。
- 算子范数：满足上述不等式的最小常数C，称为该算子的算子范数，记作 \(\|T\|_{(p,q)}\)。它衡量了算子T从 \(L^p\) 到 \(L^q\) 的最大“放大倍数”。
- 问题的提出：假设我们通过某种方法（例如傅里叶变换、卷积等）知道一个线性算子T在两对不同的 \((p, q)\) 空间上是有界的。一个自然的问题是：那么对于介于这两对指数之间的 \((p, q)\) 呢？算子是否仍然有界？其范数又有什么规律？里斯凸性定理正是为了回答这类问题。
第二步：建立几何图像——理解“凸性”的含义
- 指数对与平面点：我们把一对指数 \((1/p, 1/q)\) 看作欧氏平面上的一个点。这里用倒数是为了使结论的表述在几何上更优美（成为线性关系）。所有可能的 \((1/p, 1/q)\) 构成了一个边长为1的正方形：\(0 \le 1/p, 1/q \le 1\)。
- 已知点与未知点：假设我们已知算子T在点 \(A = (1/p_0, 1/q_0)\) 处的范数 \(M_0 = \|T\|_{(p_0, q_0)}\)，在点 \(B = (1/p_1, 1/q_1)\) 处的范数 \(M_1 = \|T\|_{(p_1, q_1)}\)。
- “凸性”的直观：我们想要求出在连接A、B两点的线段上任取一点 \(X = (1/p_t, 1/q_t)\) 处，算子T的范数 \(M_t = \|T\|_{(p_t, q_t)}\) 的信息。凸性 在这里意味着，\(\log M_t\) 不会超过由 \(\log M_0\) 和 \(\log M_1\) 线性插值得到的值。换句话说，函数 \(t \mapsto \log \|T\|_{(p_t, q_t)}\) 是线段AB上的凸函数。
第三步：定理的核心陈述——复插值框架下的里斯凸性定理
里斯凸性定理最精确和一般的形式是在复插值的框架下给出的。这比你上面看到的“两对L^p空间”更广泛。
- 复插值空间族：考虑一族可测空间 \((X, \mu)\) 和 \((Y, u)\) 上的一族复巴拿赫空间 \(A_z\) 和 \(B_z\)，其中参数 \(z\) 在复平面带形区域 \(S = \{ z \in \mathbb{C} : 0 \le \text{Re}(z) \le 1 \}\) 中变化。并且当 \(\text{Re}(z) = 0\) 或 \(1\) 时，这些空间是简单的、我们熟悉的空间（如 \(L^{p_0}, L^{p_1}\) 等）。
- 相容算子族：考虑一族线性算子 \(T_z : A_z \to B_z\)，它们在某种意义下关于参数 \(z\) 是解析依赖的，并且在边界 \(\text{Re}(z)=0\) 和 \(\text{Re}(z)=1\) 上，算子 \(T_{it}\) 和 \(T_{1+it}\) 是有界的。
- 定理陈述：里斯凸性定理断言，对于带形S内部的点 \(z = \theta\) (其中 \(0 < \theta < 1\))，算子 \(T_{\theta} : A_{\theta} \to B_{\theta}\) 也是有界的，并且其算子范数满足以下凸性估计：
\[ \log \|T_{\theta}\|_{(A_{\theta}, B_{\theta})} \le (1-\theta) \log M_0 + \theta \log M_1 \]
其中，\(M_0 = \sup_{t \in \mathbb{R}} \|T_{it}\|_{(A_0, B_0)}\)，\(M_1 = \sup_{t \in \mathbb{R}} \|T_{1+it}\|_{(A_1, B_1)}\)。等价地，写作：
\[ \|T_{\theta}\|_{(A_{\theta}, B_{\theta})} \le M_0^{1-\theta} M_1^{\theta}. \]
这个不等式清晰地体现了范数的“对数凸性”。
第四步：回到经典特例——应用于L^p空间的里斯-索林定理
当把上述一般的复插值框架具体应用到 \(L^p\) 空间时，我们就得到其最著名、最常用的形式，有时也称为里斯-索林定理。
- 具体设定：设 \((X, \mu), (Y, u)\) 是测度空间，T是一个定义在 \(L^{p_0}(X) + L^{p_1}(X)\) 上，取值在 \(L^{q_0}(Y) + L^{q_1}(Y)\) 的线性算子。
- 已知条件：假设T在边界上是“强类型”的：
- T从 \(L^{p_0}(X)\) 到 \(L^{q_0}(Y)\) 有界，范数为 \(M_0\)。
- T从 \(L^{p_1}(X)\) 到 \(L^{q_1}(Y)\) 有界，范数为 \(M_1\)。
- 插值结论：那么，对于任意的 \(0 < \theta < 1\)，定义插值指数：
\[ \frac{1}{p_{\theta}} = \frac{1-\theta}{p_0} + \frac{\theta}{p_1}, \quad \frac{1}{q_{\theta}} = \frac{1-\theta}{q_0} + \frac{\theta}{q_1}. \]
算子T必然是从 \(L^{p_{\theta}}(X)\) 到 \(L^{q_{\theta}}(Y)\) 的有界线性算子，并且其范数满足：
\[ \|T\|_{(p_{\theta}, q_{\theta})} \le M_0^{1-\theta} M_1^{\theta}. \]
这正是第二步中描述的几何图像的精确数学表述。点 \((1/p_{\theta}, 1/q_{\theta})\) 位于连接 \((1/p_0, 1/q_0)\) 和 \((1/p_1, 1/q_1)\) 的线段上，而该点的范数被边界范数的几何平均所控制。
第五步：理解意义与应用
- 强大工具：里斯凸性定理是一个插值定理。它允许我们仅从算子在“端点”空间的性质，自动推断出在一整条连续“线段”上的空间（即插值空间）上的性质。这极大地简化了分析工作。
- 应用场景：这个定理是现代调和分析的基石之一。它被频繁用于证明各种积分算子（如傅里叶变换、希尔伯特变换、卡尔德隆-齐格蒙德算子等）在 \(L^p\) 空间上的有界性。通常证明策略是：
- 在某个容易处理的端点（如 \(L^2\)，利用帕塞瓦尔定理）证明有界性。
- 在另一个端点（如 \(L^1\) 到弱 \(L^1\) 或 \(L^{\infty}\) 到BMO）证明有界性，这可能困难一些。
- 然后应用里斯凸性定理，立即得到对所有介于两者之间的 \(L^p\) 空间的有界性。
- 与其它定理的关系：你列表中已学过的里斯表示定理是泛函分析中对偶性的核心，而里斯凸性定理则是算子在空间族上行为分析的核心。它也是更一般的复插值方法的最重要成果之一。你学过的里斯插值定理（Marcinkiewicz插值定理）是它的“实方法”对应物，条件更弱但结论也稍弱（得到弱型估计）。
总结来说，里斯凸性定理通过精妙的复变方法，揭示了线性算子范数在插值空间上的对数凸性，为我们从有限信息推导出丰富结论提供了强有力的理论保障。