圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续六十三）
在之前数十次对圆的渐开线与渐伸线（渐屈线）关系的探讨中，我们已经深入分析了它们的参数方程、曲率关系、运动学解释、等距性质、包络性质等多个方面。现在，我们将在这些基础上，进一步探讨一个更精细的几何主题：渐开线族的等距线与原渐屈线的焦散（caustic）性质。这个主题揭示了渐开线族作为一个整体所具有的深刻几何结构。
- 回顾核心定义与关系
首先，我们明确几个基本对象：
- 基圆 (Base Circle)： 一个半径为 \(a\) 的圆。
- 渐屈线 (Evolute)： 对于基圆而言，其渐屈线退化为圆心这一个点。但在更一般的讨论中，我们将一条平面曲线 \(C\) 的渐屈线定义为 \(C\) 上所有点的曲率中心的轨迹。渐屈线是原曲线的“曲率中心包络”。
- 渐开线 (Involute)： 对于基圆，其渐开线是从圆上一点将一条紧绷的绳子解开时，绳子端点所描绘的轨迹。从几何上，给定一条曲线 \(C\) (称为渐屈线)，它的渐开线是所有与 \(C\) 相切，且切点处切线段长度等于从某固定点到该切点沿 \(C\) 的弧长的曲线。关键性质：一条曲线的所有渐开线彼此平行（等距），而原曲线是所有这些渐开线共同的渐屈线。
- 渐开线族与等距线
对于一条给定的渐屈线 \(C\) (比如一个椭圆或更一般的曲线)，它有无数条渐开线，它们构成一个“渐开线族”。这个族由初始弧长参数 \(s_0\) 来标记，不同的 \(s_0\) 对应不同的渐开线。
一个重要的事实是：渐开线族中的任意两条曲线是相互的“等距线”(parallel curves 或 offset curves)。等距线的定义是：给定一条曲线，将其沿法线方向平移一个固定距离 \(d\) 所得到的新曲线。
- 为什么？ 考虑渐屈线 \(C\) 的两条渐开线 \(I_1\) 和 \(I_2\)，它们分别对应于弧长参数 \(s_0\) 和 \(s_0 + d\)。在 \(C\) 的同一点 \(P\) 处，\(I_1\) 和 \(I_2\) 的法线都是 \(C\) 在 \(P\) 点的切线。并且，从 \(I_1\) 上对应点到 \(I_2\) 上对应点的向量，正是沿这条公共法线方向、长度为 \(|d|\) 的向量。因此，\(I_2\) 可以看作是 \(I_1\) 沿其自身法线方向平移距离 \(|d|\) 得到的等距线，反之亦然。
- 渐屈线作为焦散（Caustic）
现在我们来探讨渐开线族与渐屈线之间的一个深刻联系：渐屈线 \(C\) 是渐开线族 \(\{ I_{s_0} \}\) 的“焦散”或“焦散曲线”(caustic)。- 焦散的定义： 在光学和几何中，一束光线（或一族曲线）的焦散，是这束光线（或曲线族）的包络。对于光线而言，焦散是光线最集中、亮度最高的地方。对于曲线族而言，焦散是曲线族中“无限接近”的曲线相交点的轨迹，也就是曲线族的包络。
- 渐开线族的包络： 我们考虑渐开线族 \(\{ I_{s_0} \}\)。这个族的参数是初始弧长 \(s_0\)。在固定的点 \(P\) 沿着渐屈线 \(C\) 移动时，我们得到了一族经过 \(P\) 点附近的不同渐开线。几何直观告诉我们，这些渐开线在 \(P\) 点附近彼此相交，而它们的公共“极限位置”或“包络”正是渐屈线 \(C\) 本身。
- 数学推导： 设渐屈线 \(C\) 的参数方程为 \(\boldsymbol{\gamma}(s)\)，其中 \(s\) 是弧长。其渐开线族方程为：
\[ \boldsymbol{r}(s, s_0) = \boldsymbol{\gamma}(s) + (s_0 - s) \boldsymbol{T}(s) \]
其中 \(\boldsymbol{T}(s) = \dot{\boldsymbol{\gamma}}(s)\) 是 \(C\) 的单位切向量，\(s_0\) 是标记不同渐开线的参数。
为了求这个曲线族的包络，我们固定 \(s_0\)，对 \(s\) 求偏导，并令其与对 \(s_0\) 的偏导平行（包络条件）。计算如下：
\[ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial s} = \boldsymbol{T}(s) + (s_0 - s)\kappa(s)\boldsymbol{N}(s) - \boldsymbol{T}(s) = (s_0 - s)\kappa(s)\boldsymbol{N}(s) \]
\[ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial s_0} = \boldsymbol{T}(s) \]
其中 \(\kappa(s)\) 是渐屈线 \(C\) 的曲率，\(\boldsymbol{N}(s)\) 是 \(C\) 的主法向量。包络条件要求这两个向量平行：
\[ (s_0 - s)\kappa(s)\boldsymbol{N}(s) \parallel \boldsymbol{T}(s) \]
但 \(\boldsymbol{N}(s)\) 和 \(\boldsymbol{T}(s)\) 是正交的（在非直线段），所以这个平行条件要成立，除非系数为零。因此，我们得到包络条件为：
\[ (s_0 - s)\kappa(s) = 0 \]
由于我们考虑的是曲率非零的渐屈线段 (\(\kappa(s) \neq 0\))，这意味着 \(s_0 = s\)。
- 包络即渐屈线： 将条件 \(s_0 = s\) 代回渐开线族方程：
\[ \boldsymbol{r}(s, s_0=s) = \boldsymbol{\gamma}(s) + (s - s)\boldsymbol{T}(s) = \boldsymbol{\gamma}(s) \]
这正是渐屈线 \(C\) 本身的方程。因此，渐开线族的包络就是它们的公共渐屈线。在光学类比中，如果我们把每条渐开线想象成一条光线（实际上，渐开线族的法线正是渐屈线 \(C\) 的切线族），那么这些“光线”反射或折射后汇聚形成的亮线（包络）就是焦散。在这个意义上，渐屈线 \(C\) 就是由其渐开线族的法线所定义的“焦散曲线”。
- 几何图像与物理意义
想象一个点光源位于渐屈线 \(C\) 上。从该点发出的光线，如果沿着 \(C\) 的切线方向射出，那么这些光线族（直线族）的包络正是 \(C\) 的渐开线族。反过来，如果我们有一族平行的曲线（即等距的渐开线族），它们的共同法线汇（所有法线构成的直线族）的包络，就是这族曲线的“焦散”，也就是它们的公共渐屈线。这清晰地展示了渐开线、渐屈线、等距线、法线汇和焦散这几个概念之间紧密而优美的内在联系。