伽罗瓦群的结构定理
好的，我们接下来讲解伽罗瓦群的结构定理。这是一个核心的伽罗瓦理论结果，它深入刻画了伽罗瓦扩张与其伽罗瓦群之间的关系。
第一步：回顾伽罗瓦群与伽罗瓦扩张的定义
为了理解结构定理，我们必须先清晰地知道两个基本概念：
- 伽罗瓦扩张：设 \(L/K\) 是一个域的有限扩张。它是伽罗瓦扩张，如果它同时是正规扩张和可分扩张。
- 正规性 意味着：\(L\) 是某个多项式 \(f(x) \in K[x]\) 的分裂域。直观上，\(L\) 包含了 \(f\) 的所有根，因此 \(K\) 上的任何多项式，只要在 \(L\) 中有一个根，它就能在 \(L\) 中完全分解为一次因式的乘积。
- 可分性 意味着：\(L\) 中每个元素在 \(K\) 上的极小多项式在其分裂域中没有重根。
- 伽罗瓦群：对于一个伽罗瓦扩张 \(L/K\)，其伽罗瓦群 \(\text{Gal}(L/K)\) 定义为所有保持 \(K\) 中每个元素不动的 \(L\) 的自同构（即 \(K\)-自同构）组成的群。群运算是映射的复合。
核心性质：对于有限伽罗瓦扩张，有 \(|\text{Gal}(L/K)| = [L : K]\)，即伽罗瓦群的阶等于扩张的次数。
第二步：引入中间域与子群的对应关系
伽罗瓦理论的核心是建立两个集合之间的一一对应：
- 集合 \(\mathcal{F}\)：扩张 \(L/K\) 的所有中间域 \(E\)，即满足 \(K \subseteq E \subseteq L\) 的域 \(E\)。
- 集合 \(\mathcal{G}\)：伽罗瓦群 \(\text{Gal}(L/K)\) 的所有子群 \(H\)。
对应法则（伽罗瓦对应）：
- 从子群到中间域：给定子群 \(H \leq \text{Gal}(L/K)\)，定义它的固定域：
\[ L^H = \{ x \in L \mid \sigma(x) = x, \ \forall \sigma \in H \} \]
可以证明 \(L^H\) 是 \(L/K\) 的一个中间域。
- 从中间域到子群：给定中间域 \(E\)，考虑所有固定 \(E\) 中每个元素的 \(K\)-自同构，这正好就是伽罗瓦群 \(\text{Gal}(L/E)\)。显然 \(\text{Gal}(L/E)\) 是 \(\text{Gal}(L/K)\) 的子群。
基本定理断言这两个映射是互逆的，建立了一一对应（称为“伽罗瓦对应”）。
第三步：伽罗瓦群结构定理的核心内容
伽罗瓦群的结构定理，本质上详细描述了在上述一一对应下，域的包含关系与群的包含关系如何精确对应，以及中间域的扩张性质如何反映在子群的代数性质上。
设 \(L/K\) 是有限伽罗瓦扩张，\(G = \text{Gal}(L/K)\)。伽罗瓦对应（包含结构定理）具体指出以下内容：
- 反序包含：如果 \(E_1\) 和 \(E_2\) 是两个中间域，对应的子群分别是 \(H_1 = \text{Gal}(L/E_1)\) 和 \(H_2 = \text{Gal}(L/E_2)\)，那么
\[ E_1 \subseteq E_2 \quad \Longleftrightarrow \quad H_2 \leq H_1 \]
注意方向是相反的：更大的中间域对应更小的子群（因为它需要固定更多的元素）。
- 扩张次数与子群指数：对于对应的中间域 \(E\) 和子群 \(H = \text{Gal}(L/E)\)，有：
\[ [E : K] = [G : H] \quad \text{和} \quad [L : E] = |H| \]
这直接链接了域的线性维度（次数）与群的组合结构（指数和阶）。
- 正规扩张对应正规子群（这是结构定理最关键、最深刻的部分）：
- 一个中间域 \(E\) 是 \(K\) 的伽罗瓦扩张（即 \(E/K\) 是正规且可分的），当且仅当 对应的子群 \(H = \text{Gal}(L/E)\) 是 \(G\) 的正规子群。
- 当上述条件成立时，我们可以考虑商群 \(G/H\)。这个商群同构于 \(E/K\) 的伽罗瓦群：
\[ \text{Gal}(E/K) \cong G / H = \text{Gal}(L/K) \ / \ \text{Gal}(L/E) \]
这一同构由限制映射 \(\sigma \mapsto \sigma|_E\) 给出。
- 合成链与可解群：结构定理允许我们将域的塔（一系列中间域）翻译成群论的塔（一系列子群）。
- 特别地，如果 \(L/K\) 可以通过添加一系列根式得到（即根式扩张），那么对应的伽罗瓦群 \(G\) 必定是一个可解群。反之，如果 \(G\) 是可解群，那么方程 \(f(x)=0\)（其中 \(L\) 是 \(f\) 的分裂域）可以用根式求解。
- 这正是伽罗瓦解决五次方程不可根式解问题的核心：一般五次方程的伽罗瓦群是对称群 \(S_5\)，而 \(S_5\) 不是可解群。
第四步：一个具体例子
考虑扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) / \mathbb{Q}\)。它是多项式 \((x^2-2)(x^2-3)\) 的分裂域，且特征为0，故是伽罗瓦扩张。
- 伽罗瓦群 \(G = \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q})\) 同构于克莱因四元群 \(V_4\)，有四个元素：\(\{id, \sigma, \tau, \sigma\tau\}\)。
- \(\sigma: \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}, \ \sqrt{3} \mapsto \sqrt{3}\)
- \(\tau: \sqrt{2} \mapsto \sqrt{2}, \ \sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3}\)
- \(\sigma\tau: \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}, \ \sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3}\)
应用结构定理：
- 子群与中间域的对应：
- 子群 \(H_1 = \{id, \sigma\}\) 的固定域是 \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\)。
- 子群 \(H_2 = \{id, \tau\}\) 的固定域是 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。
- 子群 \(H_3 = \{id, \sigma\tau\}\) 的固定域是 \(\mathbb{Q}(\sqrt{6})\)。
- 正规扩张对应正规子群：
- \(H_1, H_2, H_3\) 都是 \(V_4\) 的正规子群（因为 \(V_4\) 是阿贝尔群，所有子群都正规）。
- 因此，对应的中间域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{3}), \mathbb{Q}(\sqrt{6})\) 都是 \(\mathbb{Q}\) 的伽罗瓦扩张。
- 验证商群同构：例如，\(G/H_1 \cong \{id, \tau\}\)（同构于 \(C_2\)），而 \(\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q})\) 也确实是由 \(\sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3}\) 生成的 \(C_2\)。限制映射 \(\tau \mapsto \tau|_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})}\) 给出了这个同构。
总结
伽罗瓦群的结构定理不仅仅是一个对应关系，它是一个强有力的翻译字典，将域的扩张理论中的复杂问题（如：是否存在中间域？扩张是否可以分解？方程是否根式可解？）转化为群论中相对更易处理的问题（子群的存在性、正规性、可解性）。它揭示了多项式方程根对称性的深层代数结构，是现代代数及其应用的基石之一。